Salut ,

Je suis nouveau sur ce forum et je souhaiterais bénéficier de vos services. J'ai un devoir de maison à rendre voici l'ennoncé si dessous.

Il s'agit une poutre horizontale encastré à l'un de ses extremités (point B )et soumise à une charge linéaire decroissante P(x) le long de la poutre avec une réaction appui F (point A)

Le devoir me demande ceci:

1-Déterminer les inconnues de liaisons en B en fonction de F

2- Déterminer les variations de l'effort tranchant et du moment fléchissant en fonction de F à une abscisse X

3- En posant P(x) = Ω.X déterminer l'équation de la déformée.

4- Exprimer la flèche en A

5- Déterminer pour quelle valeur de F cette flèche est nulle

Ci-joint le schéma de l'exercice. Merci d'avance

déja, si tu mettais le lien de ton fichier pour voir ta poutre : Poutre articulée sur appui simple d'un coté et encastrée de l'autre

décroissance de la charge vers l'extrémité appuyée ou vers la zone encastrée ?

Si tu parles d'une réaction d'appui en A, la flèche en ce point est nulle

Les réactions d'appuis en A et B équivalent à la totalité de la charge répartie décroissante.

Tu regardes ensuite les moments en B pour déterminer le moment d'encastrement

Pour une section d'abscisse x, tu détermines V et M

pour la flèche y tu as la formule M=E.I.y"

Tu prends les hypothèses suivantes : flèche nulle en A au niveau appui et en B zone d'encastrement

Zone d'encastrement en B : rotation tangente

Je considère la poutre reposant en A à gauche, de longueur L et encastrée en B à droite.

La charge répartie décroit de A vers B. Son intensité vaut en A pa et en B pb.

Le signe positif des moments est dans le sens des aiguilles d'une montre.

La charge répartie tend à créer en B un moment négatif. La réaction d'encastrement s'oppose à cette sollicitation.

On considère donc que le moment en B qui s'oppose à la charge, est positif. On verra par la suite si les calculs donnent un moment positif.

Principe fondamental statique

somme des forces = O donc Ra + Rb - L.(pa+pb)/2 = 0 => Ra+Rb=L.(pa+pb)/2

somme des moments = 0 donc en se placant en A par exemple

L.(pa+pb)/2 x L/2 - Rb.L + Mb = 0 => Mb = Rb.L - (pa+pb).L²/2

Le système est hyperstatique. Il faut s'intéresser aux conditions des extrémités de la poutre.

Que savons nous ?

Appui simple en A : flèche nulle et moment nul

Encastrement en B : flèche nulle et tangente horizontale pour la rotation

Formule M=-EIy"

Il suffit d'intégrer cette formule en considérant M et V effort tranchant dans une section d'abscisse x

distance x quelconque comprise entre O et L

Vx = Ra - (pa+px).x/2

Mx = Ra.x - (pa+px).x/2 . x/2 = Ra.x - (pa+px).x²/4

M=-E.I.y" => y"=-M/EI => y' = - 1/EI . [ Ra.x²/2 -(pa+px).x^3/12+cte0 ] => y= - 1/EI . [ Ra.x^3/6 -(pa+px).x^4/48+cte0.x+cte1 ]

levons les indéterminations.

Flèche nulle y en A pour x=0 => 0 = - cte1 / EI donc cte1=0

FLèche nulle y en B pour x=L => 0 = - 1/E.I [ Ra.L^3/6 - (pa+px).L^4/48+cte0.L] => Ra.L^3/6 - (pa+px).L^4/48+cte0.L = 0

Cte0 = (-Ra.L^3/6 + (pa+px).L^4/48)/L = -Ra.L²/6 + (pa+px).L^3/48 = L²/48 (-8.Ra + (pa+px).L)

Tangente horizontale en B pour x=L

y' = 0 = - 1/EI . [ Ra.L²/2 -(pa+px).L^3/12+cte0 ] = - 1/EI . [ Ra.L²/2 -(pa+px).L^3/12+L²/48 (-8.Ra + (pa+px).L) ]

on tire de cette expression Ra : Ra.L²/2 -(pa+px).L^3/12+L²/48 (-8.Ra + (pa+px).L)=0 <=> (1)

(1) <=> [24.Ra.L² - 4(pa+px).L^3 - 8.Ra.L² + (pa+pb).L^3]/48 = 0 => 16.Ra.L² - 3(pa+px).L^3 = 0 => Ra = 3(pa+px).L^3/16.L² = 3(pa+px).L/16

comme on se trouve en x = L on px=pb donc Ra = 3(pa+pb).L/16

on peut ainsi déterminer Rb puisque on a Ra+Rb=L.(pa+pb)/2 donc Rb=L.(pa+pb)/2 - 3(pa+pb).L/16 = L.(pa+pb)/2 . (1 - 3/8) = 5L.(pa+pb)/16

comme on connait Ra et Rb on peut déterminer Mb puisque Mb = Rb.L - (pa+pb).L²/2

Mb = 5L².(pa+pb)/16 - (pa+pb).L²/2 = (pa+pb).L²/2 (5/8 - 1) = (pa+pb).L²/2 (-3/8) = -3.(pa+pb).L²/16

ce moment est négatif et correspond à l'action des charges réparties.

L'équation de la déformée y est : y= - 1/EI . [ Ra.x^3/6 -(pa+px).x^4/48+cte0.x+cte1 ]

il suffit de remplacer les termes connus

y = - 1/E.I . [ 3(pa+pb).L/16. x^3/16 -(pa+px).x^4/48 + x.L²/48 (-8.Ra + (pa+px).L) + 0 ]

y = - 1/E.I. [ -(pa+px).x^4/48 + 3(pa+pb).L/16. x^3/16 + x.L²/48 (-8.Ra + (pa+px).L) ]

y = - [ -(pa+px).x^4/3 + 3(pa+pb).L. x^3/16 + x.L².(-8.Ra + (pa+px).L)/16 ]/16EI

y = - [-16(pa+px).x^4 + 9(pa+pb).L. x^3 + 3.x.L².(-8.Ra + (pa+px).L)]/768.E.I or Ra = 3(pa+pb).L/16 donc

y = - [-16(pa+px).x^4 + 9(pa+pb).L. x^3 + 3.x.L².(-8.3(pa+pb).L/16 + (pa+px).L)]/768.E.I

y = - [-(pa+px).(2x)^4 + 9(pa+pb).L. x^3 + 3.x.L².(pa+pb).L(-24/16 + 1)]/768.E.I

y = - [-(pa+px).(2x)^4 + 9(pa+pb).L. x^3 - 3.x.L^3.(pa+pb)/2]/768.E.I

voilà la méthode analytique pour le cas de la poutre qui ne doit pas correspondre à ton exercice mais cela te montrera la démarche à avoir

mes calculs ne sont pas tout à fait exacts car le centre de gravité pour une charge répartie variable ne se situe pas exactement au milieu de celle ci.

Donc la distance du bras de levier pour créer un moment de flexion est fausse. A toi de déterminer correctement cette distance à partir du moment statique d'une surface trapézoïdale

pour t'aider :

S= (pa+px).x/2 =&gt; xg= [px.x.x/2+(pa-px).x/2.x/3 ] / ((pa+px).x/2) = x/3 . (pa+2.px)/(pa+px)

cette distance est la distance par rapport à pa donc la distance du centre de gravité par rapport à x est x-xg = x/3 . (2pa+px)/(pa+px)

je considère ici que pa est supérieur à px et que l'abscisse de A vaut 0 pour une intensité Pa

Cette distance exacte complexifie la résolution anlytique de la démarche décrite précédemment mais tu devrais ensuite arriver à des valeurs cohérentes qui devraient se simplifier

Je te laisse faire pour trouver la bonne formule de la déformée car je n'ai pas le courage de refaire les calculs théoriques

Si tu veux mettre la bonne formule pour les lecteurs ou que quelqu'un d'autre le fasse, merci d'avance

C'est encore moi

Voici les résultats principaux pour la poutre sur appui libre à gauche en A et encastrée à droite en B en suivant la démarche décrite plus haut.

Chargement trapézoïdal de valeur p en A et q en B

Ra=L(11p+4q)/40 ; Rb=L(9p+16q)/40 ; Mb=-L²(7p+8q)/120

déformée en abscisse x : y=[2(q-p)x^5+10pLx^4-(11p+4q)L²x^3+(3p+2q)L^4x]/(240E.I.L)

rotation en abscisse x :y'=[10(q_p)x^4+40pLx^3-3L²(11+4q)x²+(3p+2q)L^4]/(240.E.I.L)

Moment en abscisse x : M=(-(q-p)x^3-3p.L.x²+6Ra.L.x)/(6.L)

Application numérique test sous excel

L=10m ; p=-10KN/m ; q=-20KN/m forces orientées vers le bas ; RA=47,5KN ; RB=102,5KN ; réactions vers le haut : OK

Encastrement MB=191,6667KN.m la valeur positive s'oppose à la flexion de la poutre (valeur cohérente)

Poutre de 50cm de largeur sur 60cm de hauteur en béton C35

E=35982MPa ; Inertie I = 0,009 m4 ; 1/240.E.I.L = 1.28665E-06

Flèche à x=3m96 y=-2,38996mm ; M=-99,342144 KN.m valeur minimale maximale

Flèche à x=4m29 y=-2,40688mm ; M=-98,595585 KN.m

Flèche à x=5m y=-2,332mm à mi travée avec une pente de 0,000209 rad ; M=-91,66667KN.m

Ces formules permettent de retrouver les cas de chargement uniformes (p=q) ou triangulaire (p=0 pour q donné ou q=0 pour p donné)

Une autre façon de contrôler mes calculs, est de prendre les formules RDM de cette poutre pour une charge répartie et une charge triangulaire.

On applique le principe de superposition des efforts et on calcule les sollicitations pour une abscisse donnée.

C'est la solution de facilité. On rentre les formules dans Excel et on regarde la section la plus sollicitée.

CQFD