Bonjour à tous

Pour un pont biais à poutres multiples,

Si les rigidités unitaires à la flexion et à la torsion des poutres sont évaluées suivant une coupe droite (largeur droite) du tablier. Suivant qu'elle coupe "portée droite ou portée biaise" peut-on évaluer les rigidités unitaires de flexion et de torsion des entretoises ?  

Je sais que nous pouvons s'affranchir à ce pb de biais, en réalisant un ouvrage mécaniquement droit, tout en conservant le biais de franchissement géométrique en réalisant des lignes d'appuis perpendiculairement aux poutres longitudinales avec le recourt à des piles-marteaux. Mais, comme dit avant, si nous voulons garder le biais géométrique, suivant qu'elle coupe alors peut-on évaluer les rigidités unitaires à la flexion et à la torsion pour les entretoises ?

Merci   

 

Bonjour

Je complète :

1- le présent sujet ne concerne que les ouvrages à poutres multiples à biais géométrique modéré ! phi supérieur ou égal à 70° ou peut être 80°;

2- le calcul du moment de flexion longitudinal moyen, en assimilant le tablier à une poutre, se fait dans la pratique courante avec la portée biaise !. Donc suivant l'axe longitudinal principal de circulation des convois sur l'ouvrage;  

3- l'axe orthogonal au principal de circulation des convois n'est autre que celui qui correspond à la largeur droite de l'ouvrage;

4- en conséquence à cela, les rigidités unitaires de flexion et de torsion devront normalement se faire dans les deux directions orthogonales précitées à savoir : l'axe principal de la portée biaise et celui qui lui est perpendiculaire correspondant à la largeur droite de l'ouvrage;

5- donc pour les rigidités à la flexion et à la torsion des entretoises et suivant direction de la coupe longitudinale de la portée biaise nous somme donc obligés de multiplier les dimensions des longueurs de la section droite par sinus(phi); 

6- cela ne change en rien pour la rigidité unitaire en flexion puisque les dimensions en hauteur ne sont pas influencées par le biais. C'est juste une multiplication et une division par sinus(phi);

7- par contre pour la rigidité unitaire à la torsion cela change considérablement !

@philkakou@breton2250  qu'es ce que vous en pensez ?

Merci

 

Modifié Juin 9, 20222 a par BELLAMINE

Bonjour

Dans un document publié ailleurs, j'ai lu que dans le cas d'un ouvrage à poutres multiples ne comportant que des entretoises de rive, le calcul des rigidités unitaires à la flexion et à la torsion des entretoises roh_E ne prend pas en considération la présence des entretoises de rive car d'après son auteur "le hourdis (dalle de platelage) fait office et tient lieu d'entretoises". Personnellement, je trouve que c'est une belle approche, mais sous réserve des points suivants :

1- le fait de ne pas prendre en considération les rigidités unitaires des entretoises de rive, roh_E diminue, et par conséquent, le rapport roh_P/roh_E augmente ! Or d'après les auteurs de la méthode de GMB dans leur ouvrage "calcul des grillages de poutres et dalles orthotropes" page 248, plus ce rapport est grand plus l'erreur sur la valeur du coefficient de répartition transversale est grave !     

2- donc si nous voulons ne pas tenir en compte des entretoises de rive dans l'évaluation de la rigidité unitaire roh_E nous somme obligés à revoir les expressions des coefficients de répartition transversale en tenant compte de l'influence non négligeable du rapport roh_P/roh_E  

Autre remarques à toutes fins utiles :

1- j'insiste sur la problématique de la notion de largeur active et positions actives, car selon l'exemple de 5 poutres dans l'ouvrage de GMB page 256, les extrémités libres de la largeur réelle +-B correspondent à +-0.8b pour la largeur active 2b du modèle de calcul théorique. Or, My(x,y=+-B)=0 alors que My(x,+-0.8b) est différent de zéro, donc une contradiction sur les conditions aux limites des bords libres du tablier. 

2- le calcul longitudinal est généralement ou plutôt couramment et systématiquement fait avec la portée biaise réelle de l'ouvrage. Donc le développement de la charge en série de FOURIER doit normalement se faire sur la portée réelle biaise, tout en cherchant la correspondance pour le modèle de calcul théorique de GMB de la dalle isostatique droite équivalente.

Cordialement 

Modifié Juin 10, 20222 a par BELLAMINE

Bonsoir 

Les coefficients de répartition transversale de GMB que nous utilisons pour le dimensionnement des ouvrages ne s'appliquent que dans le cas particulier des grillages de poutres pour lesquels le rapport  roh_P/roh_E = 1. Cette condition se traduit sur l'hypothèse pour laquelle l'épaisseur de la dalle orthotrope équivalente est la la même dans les deux directions (longitudinale et transversale) de l'ouvrage.

Or dans la quasi-majorité des ouvrages le rapport roh_P/roh_E est sensiblement différent de 1. Donc pour roh_P cela correspond à une dalle orthotrope équivalente d'épaisseur hP de même pour roh_E une épaisseur hE avec hP sensiblement différent de hE.

Et dans le cas très particulier où hP=hE=h et en vertu du théorème de Maxwell Betti à savoir : nu_x Ey = nu_y Ex nous réduisons légalité base fondamentale des coefficients de répartition transversale de GMB à savoir nu_x roh_y = nu_y roh_x.

Cette dernière égalité n'a rien avoir avec le théorème de Maxwell Betti contrairement à ce qui vient dans le livre de GMB mais juste un résultat que nous pouvons déduire dans le cas particulier où hP=hE=h !!!

En conséquence à cela les coefficients de répartition transversale que nous utilisons en pratique doivent faire l'objet d'une révision pour tenir compte de l'influence du rapport roh_P/roh_E.

Cordialement 

Modifié Juillet 21, 20222 a par BELLAMINE

Bonjour

Au sujet de la constante de Saint_Venant de rigidité à la torsion. Il est d'usage courant compte tenu des difficultés théoriques pour évaluer exactement cette constante, à décomposer la section en rectangles élémentaires et d'appliquer la formule donnant cette constante pour un rectangle, en faisant la somme des constantes de Saint_Venant obtenues pour chaque rectangle élémentaire. 

La plus part des auteurs et ingénieurs disent que cette façon de procéder se traduit par une sous estimation de la constante de Saint_Venant pour la section entière et va dans le sens de la sécurité de l'ouvrage ?

Mais logiquement parlant, si on se permet de juger une grandeur G1 sous estimée par rapport à une grandeur G2 cela veut dire que nous connaissons déjà la valeur de G2 qui nous permet de faire la comparaison entre G1 à G2 ! Donc du moment où G2 est connue pourquoi l'évaluer approximativement par G1 ?

 

Le 27/07/2022 à 13:30, BELLAMINE a dit :

Bonjour

Au sujet de la constante de Saint_Venant de rigidité à la torsion. Il est d'usage courant compte tenu des difficultés théoriques pour évaluer exactement cette constante, à décomposer la section en rectangles élémentaires et d'appliquer la formule donnant cette constante pour un rectangle, en faisant la somme des constantes de Saint_Venant obtenues pour chaque rectangle élémentaire. 

La plus part des auteurs et ingénieurs disent que cette façon de procéder se traduit par une sous estimation de la constante de Saint_Venant pour la section entière et va dans le sens de la sécurité de l'ouvrage ?

Mais logiquement parlant, si on se permet de juger une grandeur G1 sous estimée par rapport à une grandeur G2 cela veut dire que nous connaissons déjà la valeur de G2 qui nous permet de faire la comparaison entre G1 à G2 ! Donc du moment où G2 est connue pourquoi l'évaluer approximativement par G1 ?

 

Bon pour se fixer les idées. Si la démarche de décomposition en rectangle élémentaires d'une section de poutre de pont en T pour l'évaluation de sa rigidité à la torsion (constante de Saint venant) est "valide". Rien nous nous empêche de faire de même pour une section rectangulaire. Je prends un exemple,

Soit une section rectangulaire de référence, de coté b=4 et a=10 (b<=a). Selon la formule donnant la valeur exacte de la constante de Saint Venant de rigidité à la torsion on a J=159,59 

En décomposant le rectangle de la section entière en deux rectangle élémentaires identiques de coté b1=b=4 et a1=a/2=5. La constante de de Saint Venant de rigidité à la torsion pour le rectangle élémentaire vaut J1=54,95 et pour la section entière J=2J1=109,91. Soit une sous estimation de l'ordre de -31,13% par rapport à la valeur exacte de J.

Si nous décomposons le rectangle de référence en quatre rectangles élémentaires de coté b2=b/2=2 et a2=a/2=5. La constante de de Saint Venant de rigidité à la torsion pour le rectangle élémentaire vaut J2=9,97 et pour la section entière J=4J2=39,90. Soit une sous estimation de l'ordre de -75% par rapport à la valeur exacte de J. 

Et nous pouvons continuer à décomposer arbitrairement le rectangle de référence en rectangles élémentaires, de faire la somme des valeurs de J des rectangles élémentaires et de comparer le résultat obtenu avec la valeur exacte de J du rectangle de référence...

Rappelant pour une section rectangulaire de cotés a et b avec b<=a, la valeur exacte de J est donnée par la formule suivante :

                                             J = (ab^3/3){1-(192(b/a)/pi^5)[th(0,5Pi.a/b)+0,004524]}

 

A vos commentaires ...

Modifié Juillet 28, 20222 a par BELLAMINE

Il y a 14 heures, BELLAMINE a dit :

Bon pour se fixer les idées. Si la démarche de décomposition en rectangle élémentaires d'une section de poutre de pont en T pour l'évaluation de sa rigidité à la torsion (constante de Saint venant) est "valide". Rien nous nous empêche de faire de même pour une section rectangulaire. Je prends un exemple,

Soit une section rectangulaire de référence, de coté b=4 et a=10 (b<=a). Selon la formule donnant la valeur exacte de la constante de Saint Venant de rigidité à la torsion on a J=159,59 

En décomposant le rectangle de la section entière en deux rectangle élémentaires identiques de coté b1=b=4 et a1=a/2=5. La constante de de Saint Venant de rigidité à la torsion pour le rectangle élémentaire vaut J1=54,95 et pour la section entière J=2J1=109,91. Soit une sous estimation de l'ordre de -31,13% par rapport à la valeur exacte de J.

Si nous décomposons le rectangle de référence en quatre rectangles élémentaires de coté b2=b/2=2 et a2=a/2=5. La constante de de Saint Venant de rigidité à la torsion pour le rectangle élémentaire vaut J2=9,97 et pour la section entière J=4J2=39,90. Soit une sous estimation de l'ordre de -75% par rapport à la valeur exacte de J. 

Et nous pouvons continuer à décomposer arbitrairement le rectangle de référence en rectangles élémentaires, de faire la somme des valeurs de J des rectangles élémentaires et de comparer le résultat obtenu avec la valeur exacte de J du rectangle de référence...

Rappelant pour une section rectangulaire de cotés a et b avec b<=a, la valeur exacte de J est donnée par la formule suivante :

                                             J = (ab^3/3){1-(192(b/a)/pi^5)[th(0,5Pi.a/b)+0,004524]}

 

A vos commentaires ...

Bonjour

A présent décomposant notre rectangle de référence par un maillage de rectangles élémentaires de cotés a3=a/10 et b3=b/10.  La constante de de Saint Venant de rigidité à la torsion pour chaque rectangle élémentaire vaut J3=0,01596 et pour la section entière J=100J3=1,5959. Soit une sous estimation de l'ordre de -99% par rapport à la valeur exacte de référence J=159,59.  

Conclusion : La sous estimation de la rigidité à la torsion augmente (en valeur absolue) en fonction du nombre de rectangle élémentaire de décomposition de la section de référence étudiée. Il en est de même pour le paramètre de torsion Alpha ... 

 

Il y a 1 heure, BELLAMINE a dit :

Bonjour

A présent décomposant notre rectangle de référence par un maillage de rectangles élémentaires de cotés a3=a/10 et b3=b/10.  La constante de de Saint Venant de rigidité à la torsion pour chaque rectangle élémentaire vaut J3=0,01596 et pour la section entière J=100J3=1,5959. Soit une sous estimation de l'ordre de -99% par rapport à la valeur exacte de référence J=159,59.  

Conclusion : La sous estimation de la rigidité à la torsion augmente (en valeur absolue) en fonction du nombre de rectangle élémentaire de décomposition de la section de référence étudiée. Il en est de même pour le paramètre de torsion Alpha ... 

 

Rebonjour

En tenant compte de la conclusion précitée, la valeur de J la plus proche de la réalité consiste donc à décomposer la section étudiée en un nombre minimum de rectangles élémentaires. Pour une section en T avec un talon de hauteur totale h (poutre VIPP par exemple). Une bonne estimation de J correspond à 3 rectangles élémentaires à savoir :

 ** le rectangle table de compression avec une épaisseur moyenne e1 tenant compte des goussets supérieurs;

 ** le rectangle du talon avec une épaisseur moyenne e2 tenant compte des goussets inférieurs;

** et enfin le rectangle de l'âme de hauteur  h-e1-e2

Ceci n'est qu'une bonne estimation mais qui a l'inconvénient suivant : le fait de décomposer en rectangles élémentaire Fausse la distribution des contraintes de cisaillement dues à la torsion dans la section étudiée !!!

Et on peut se permettre de poser la question suivante :

              Elle est due à quoi cette sous estimation de J en décomposant la section étudiée en rectangles élémentaires ?

...

Modifié Juillet 29, 20222 a par BELLAMINE

Un complément à toutes fins utiles 

La conclusion paraît "non évidente" car par exemple : il n'y a pas une seule façon pour décomposer le rectangle de référence en deux rectangle élémentaires. En conséquence à cela nous pouvons dire que pour n=2 (décomposition en deux rectangle) la valeur estimée de J varie entre deux valeurs extrêmes. Il en est de même pour n=3 et ainsi de suite. Et nous obtenons un fuseau de nuage de points pour lequel nous pouvons conclure qu'en moyenne J est de plus en plus sous estimée quand n augmente....

Bonjour

Elle est due à quoi cette sous estimation de J en décomposant la section étudiée en rectangles élémentaires ?

Soit n le nombre de rectangle élémentaire de décomposition de la section étudiée de référence. L'évaluation approximative de J pratiquée par la plus part des ingénieurs consiste à prendre J = J1 + J2 + ... + Ji + ...+ Jn  (sauf pour la dalle de platelage "hourdis" ou l'on prend que la moitié : méthode de GMB) 

L'explication de la sous estimation de J en sommant les Ji pour i=1 à n est la suivante :

Le calcul de Ji du rectangle élémentaire d'indice i se fait dans les axes principaux d'inertie locaux pour chaque rectangle élémentaire !!! Alors qu'en principe, nous devront calculer les Ji par rapport aux axes principaux d'inertie de la section entière de la même façon que cela se fait pour les moments d'inertie de flexion et produit d'inertie (théorème d'Huygens). Et comme nous pouvons le constater, la dimension de Ji ou J [m4] est la même que celle des moments d'inertie de flexion et produit d'inertie. Donc Ji ou J sont variables en fonction du repère de calcul pour lequel on se réfère. Ainsi Ji ou J n'est autre que le moment d'inertie de torsion tout simplement.

En conséquence à cela nous pouvons dire, que par rapport aux axes principaux d'inertie de la section étudiée Ji,s = Ji + bi  avec bi une valeur de passage des axes principaux d'inertie locaux pour chaque rectangle élémentaire aux axes principaux d'inertie de la section entière de référence.

Dans ce cas, pour la section entière nous pouvons écrire : Js = Somme(Ji,s) = Somme(Ji) + (b1+b2+...+bi+...+bn) = J + Somme(bi)  

Le terme ignoré dans notre démarche de calcul habituelle est donc Somme(bi) ! Somme(bi) augmente en fonction du nombre de rectangle élémentaire de décomposition n !  et cela se répercute sur la valeur de Somme(Ji) c'est à dire quand Somme(bi) augmente ==> Somme(Ji) diminue !!! et vice versa. 

Remarque : pour notre rectangle de référence de cotés a et b, pour n=1, somme(bi)=b1=0 et par conséquent Js = J

...  

 

Modifié Juillet 30, 20222 a par BELLAMINE

Bonjour 

Le sujet de la difficulté à évaluer la rigidité de TORSION d'une section plane à part quelles formes géométriques simples (le rectangle, l'élipse ou cercle) est tjrs d'actualité depuis la naissance de la théorie de la RDM.

L'intérêt dans cette démarche de réflexion que je viens de présenter et de retenir ce qui suit : 

Minimiser l'erreur par défaut sur l'évaluation approximative de la rigidité à la torsion d'une section plane, revient à minimiser le nombre de rectangles élémentaires de décomposition de la section étudiée de référence.

...

Modifié Juillet 31, 20222 a par BELLAMINE