des cours trés trés intérréssant pour les étudiants

[B.karim]

Physique

par Didier Bernard ISABELLE

Professeur d’Université

Directeur du Centre d’Études et de Recherches par Irradiation du CNRS

(Centre National de la Recherche Scientifique

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Statistiques

par Alain LAMBOLEY

Ancien élève de l’École Polytechnique

Ingénieur Principal de l’Armement

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1. Statistique descriptive. Traitement des données ........................... A 166 - 2

2. Modèle théorique de distribution.

Variables aléatoires d’échantillonnage.............................................. — 6

3. Estimation.................................................................................................. — 8

4. Tests d’hypothèse .................................................................................... — 12

5. Tests d’ajustement .................................................................................. — 13

6. Tests paramétriques................................................................................ — 16

7. Tests non paramétriques ....................................................................... — 21

8. Analyse de la variance............................................................................ — 24

9. Corrélation et régression....................................................................... — 28

10. Généralisation de l’analyse de la variance ....................................... — 32

11. Contrôles statistiques industriels ....................................................... — 36

Pour en savoir plus........................................................................................... Doc. A 166

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Fonctions hypergéométriques Fonctions de Bessel

par Pascal MARONI

Docteur ès sciences mathématiques

Directeur de recherche au CNRS

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1. Fonctions hypergéométriques.............................................................. A 160 - 2

1.1 Fonction de Gauss....................................................................................... — 2

1.1.1 La série hypergéométrique et son prolongement analytique ........ — 2

1.1.2 Propriétés élémentaires ..................................................................... — 3

1.1.3 Équation différentielle ........................................................................ — 4

1.1.4 Transformations de la fonction hypergéométrique ......................... — 5

1.1.5 Cas particuliers ................................................................................... — 8

1.2 Fonctions hypergéométriques confluentes............................................... — 8

1.2.1 Série de Kummer................................................................................ — 8

1.2.2 Fonctions hypergéométriques confluentes de seconde espèce..... — 10

1.2.3 Comportement asymptotique des fonctions hypergéométriques

confluentes.......................................................................................... — 12

1.2.4 Représentations intégrales ................................................................ — 13

1.2.5 Cas particuliers ................................................................................... — 14

1.3 Fonctions hypergéométriques généralisées ............................................. — 15

1.3.1 Définitions ........................................................................................... — 15

1.3.2 Équation différentielle ........................................................................ — 15

1.3.3 Cas particuliers ................................................................................... — 16

2. Fonctions de Bessel................................................................................. — 16

2.1 Fonctions de Bessel d’ordre entier............................................................. — 16

2.1.1 Fonction génératrice........................................................................... — 16

2.1.2 Relations de récurrence ..................................................................... — 16

2.1.3 Équation différentielle ........................................................................ — 16

2.1.4 Origine des fonctions de Bessel ........................................................ — 16

2.2 Fonctions de Bessel d’ordre quelconque .................................................. — 17

2.2.1 Équation différentielle ........................................................................ — 17

2.2.2 Fonctions de Bessel de deuxième espèce ........................................ — 17

2.2.3 Fonctions de Bessel de troisième espèce......................................... — 18

2.2.4 Fonctions de Bessel modifiées .......................................................... — 18

2.2.5 Fonctions de Bessel d’indice demi-entier......................................... — 19

2.3 Représentations intégrales ......................................................................... — 19

2.3.1 Fonctions de première espèce........................................................... — 19

2.3.2 Fonctions de troisième espèce .......................................................... — 20

2.4 Comportement asymptotique .................................................................... — 20

2.5 Zéros des fonctions de Bessel .................................................................... — 21

2.5.1 Généralités .......................................................................................... — 21

2.5.2 Propriété des zéros positifs de J? pour ? > 0 .................................... — 22

Pour en savoir plus........................................................................................... Doc. A 160

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Fonctions eulériennes. Polynômes orthogonaux classiques

par Pascal MARONI

Docteur ès Sciences Mathématiques

Directeur de Recherche au CNRS

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1. L’outillage................................................................................................... A 154 - 1

1.1 Séries, produits, intégrales ......................................................................... — 2

1.1.1 Suites, séries ....................................................................................... — 2

1.1.2 Produits infinis .................................................................................... — 3

1.1.3 Intégrales............................................................................................. — 4

1.2 Fonctions polynomiales. Orthogonalité .................................................... — 4

1.2.1 Généralités .......................................................................................... — 4

1.2.2 Orthogonalité régulière...................................................................... — 5

2. Fonctions eulériennes............................................................................. — 6

2.1 Fonction gamma.......................................................................................... — 6

2.1.1 Définitions ........................................................................................... — 6

2.1.2 Une formule d’Euler ........................................................................... — 9

2.1.3 Formule des compléments ................................................................ — 9

2.1.4 Formule de multiplication de Legendre-Gauss................................ — 10

2.1.5 Formule de Stirling............................................................................. — 11

2.2 Fonction bêta ............................................................................................... — 11

2.2.1 Définition ............................................................................................. — 11

2.2.2 Formule généralisée des compléments............................................ — 11

2.2.3 Applications ........................................................................................ — 12

2.3 Fonction digamma....................................................................................... — 12

2.3.1 Définition ............................................................................................. — 12

2.3.2 Série de Jensen .................................................................................. — 13

2.3.3 Intégrale de Raabe.............................................................................. — 13

2.3.4 Une représentation intégrale de la fonction psi............................... — 14

2.3.5 Fonction de Binet................................................................................ — 14

2.3.6 Retour sur la formule de Stirling....................................................... — 15

2.3.7 Première intégrale de Binet ............................................................... — 15

3. Polynômes orthogonaux classiques................................................... — 16

3.1 Définitions ... — 16

3.1.1 Définition de Hahn.............................................................................. — 16

3.1.2 Équation fonctionnelle ....................................................................... — 17

3.1.3 Équation différentielle linéaire du second ordre.............................. — 18

3.1.4 Les deux relations de structure ......................................................... — 19

3.1.5 Formule de Rodrigues........................................................................ — 21

3.2 Construction des polynômes classiques ................................................... — 21

3.2.1 Système vérifié par .............................................. — 21

3.2.2 Résolution du système (95)-(96)........................................................ — 22

3.2.3 Les quatre situations canoniques...................................................... — 23

3.2.4 Représentations intégrales ................................................................ — 25

3.2.5 Retour sur la formule de Rodrigues.................................................. — 27

Références bibliographiques ......................................................................... — 28

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Calcul formel

par Claude GOMEZ

Ancien Élève de l’École Centrale de Paris

Docteur Ingénieur

Directeur de Recherche à l’Institut National de Recherche en Informatique

et Automatique (INRIA

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1. Calculs de base......................................................................................... A 144 - 2

1.1 Nombres... — 2

1.2 Polynômes et fractions rationnelles........................................................... — 3

1.3 Dérivation... — 4

1.4 Simplification............................................................................................... — 5

1.5 Courbes et surfaces..................................................................................... — 7

2. Calcul intégral........................................................................................... — 8

2.1 Calcul de primitives ..................................................................................... — 8

2.2 Intégrales définies ....................................................................................... — 10

3. Calcul matriciel ........................................................................................ — 11

3.1 Calculs de base ............................................................................................ — 11

3.2 Résolution de systèmes linéaires............................................................... — 12

3.3 Calcul de valeurs propres ........................................................................... — 12

3.4 Applications ................................................................................................. — 13

4. Résolution d’équations........................................................................... — 14

4.1 Équations non linéaires............................................................................... — 14

4.2 Équations différentielles ............................................................................. — 15

5. Calcul numérique..................................................................................... — 17

5.1 Calcul numérique dans un système de calcul formel............................... —

5.2 Génération de code ..................................................................................... — 18

5.3 Systèmes de CAO en automatique ............................................................ — 18

6. Autres domaines ...................................................................................... — 22

Pour en savoir plus........................................................................................... Doc. A 144

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Analyse harmonique, distributions, convolution

par Thomas LACHAND-ROBERT

Ancien élève de l’École Polytechnique

Maître de Conférences à l’Université de Paris VI

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1. Historique................................................................................................... A 142 - 3

1.1 Naissance des séries trigonométriques..................................................... — 3

1.2 Fourier et l’équation de la chaleur ............................................................. — 3

1.3 La question des fonctions « arbitraires »................................................... — 4

1.4 Convolution.................................................................................................. — 5

2. Notations... — 6

3. Distributions.............................................................................................. — 6

3.1 Bases mathématiques................................................................................. — 6

3.2 Fonctions indéfiniment dérivables à support compact ........................... — 8

3.3 Espace des distributions ............................................................................. — 9

3.4 Propriétés des distributions........................................................................ — 9

3.5 Convolution.................................................................................................. — 11

3.6 Exemples de distributions .......................................................................... — 12

4. Transformation de Fourier..................................................................... — 13

4.1 Transformée de Fourier d’une fonction ..................................................... — 13

4.2 Transformée d’une distribution.................................................................. — 13

4.3 Propriétés de la transformation de Fourier .............................................. — 14

5. Séries de Fourier ...................................................................................... — 16

5.1 Fonctions et distributions périodiques ...................................................... — 16

5.2 Expression des séries de Fourier ............................................................... — 17

5.3 Propriétés des coefficients de Fourier ....................................................... — 19

5.4 Spectre d’une fonction périodique ou quasi périodique......................... — 22

6. Calcul pratique ......................................................................................... — 23

6.1 Calcul des coefficients de Fourier .............................................................. — 23

6.2 Calcul de la somme d’une série de Fourier .............................................. — 25

6.3 Calcul d’une transformée de Fourier ......................................................... — 25

6.4 Transformée de Fourier rapide................................................................... — 25

7. Extensions de la notion de transformée de Fourier....................... — 27

7.1 Transformation de Laplace ......................................................................... — 27

7.2 Transformation de Hankel........................................................................... — 29

7.3 Ondelettes ... — 29

Références bibliographiques ......................................................................... — 30

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Application aux rotations dans l’espace

par Jean-Claude RADIX

Ingénieur civil des Télécommunications

Ingénieur à la Société Nationale Industrielle Aérospatiale

Professeur à l’École Nationale Supérieure de l’Aéronautique et de l’Espace (ENSAE)

et à l’École Nationale Supérieure des Techniques Avancées (ENSTA)

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1. Définition et propriétés des quaternions .......................................... A 140 - 2

2. Représentation d’une rotation par un quaternion.......................... — 3

3. Application aux produits de rotations............................................... — 5

3.1 Première méthode....................................................................................... — 5

3.2 Deuxième méthode ..................................................................................... — 5

3.3 Représentation de l’attitude d’un véhicule................................................ — 5

3.3.1 Notation engin .................................................................................... — 5

3.3.2 Notations avion-bateau...................................................................... — 6

Références bibliographiques ......................................................................... — 6

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Calcul tensoriel

par Gilles CHÂTELET

Ancien Élève de l’École Normale Supérieure de St-Cloud

Docteur ès Sciences Mathématiques

Professeur à l’Université de Paris VIII

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1. Dualité. Covariance et contravariance dans un espace vectoriel A 125 - 2

1.1 Les vecteurs des physiciens. Contravariance............................................ — 2

1.2 Espace dual. Covariance ............................................................................. — 2

1.3 Dualité dans les espaces pseudo-euclidiens. Composantes covariantes

et contravariantes d’un vecteur.................................................................. — 3

2. Tenseurs en dimension finie ................................................................. — 4

2.1 Tenseurs comme formes multilinéaires .................................................... — 4

2.2 Opérations sur les espaces de tenseurs .................................................... — 5

2.3 Dimension de l’espace des tenseurs mixtes ............................................. — 5

2.4 Tenseurs euclidiens ..................................................................................... — 6

3. Tenseurs antisymétriques. Formes extérieures............................... — 7

3.1 Définition... — 7

3.2 L’espace . Dimension et produit extérieur ......................................... — 7

3.3 L’espace . Déterminants ...................................................................... — 8

3.4 Comportement des composantes strictes par changement de base...... — 9

3.5 Dualité dans le produit extérieur................................................................ — 9

4. Application du calcul tensoriel à la relativité restreinte.............. — 11

4.1 Introduction et rappels ................................................................................ — 11

4.2 Géométrie de la relativité............................................................................ — 12

4.3 Dynamique de la relativité .......................................................................... — 13

4.4 Électromagnétisme en relativité................................................................. — 14

Références bibliographiques ......................................................................... — 15

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Introduction à la logique floue

par Arnold KAUFMANN

Ancien professeur à l’Institut Polytechnique de Grenoble,

à l’École Supérieure des Mines de Paris et à l’Université de Louvain

Professeur Honoraire de l’Institut d’Administration

des Entreprises de Barcelone

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1. Rappel sur l’algèbre de Boole..................................................... A 120 - R 7 032 - 2

2. Logique floue................................................................................... — 2

3. Rappel sur la théorie des probabilités ..................................... — 3

4. Axiomatique des sous-ensembles flous .................................. — 3

5. Relations floues.............................................................................. — 4

6. Inférences floues............................................................................ — 5

7. Nombres flous................................................................................. — 7

8. Sous-ensembles aléatoires flous et expertons ...................... — 7

9. Domaines d’application ............................................................... — 8

10. Exemple ............................................................................................ — 8

Pour en savoir plus ................................................................................. Doc. A 120 - R 7 032

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Topologie

par André WARUSFEL

Professeur de Mathématiques Spéciales au Lycée Louis-le-Grand

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Introduction"Mathématiques"

Mathématiques

Introduction

par André WARUSFEL

Ancien élève de l’École Normale Supérieure

Agrégé de Mathématiques

Professeur de Mathématiques Spéciales M’ au Lycée Louis-le-Grand

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Intégration

par Danièle LINO

Ancienne élève de l’École normale supérieure de Sèvres

Agrégée de mathématiques

Professeur de mathématiques spéciales au lycée Henri-IV

et Bernard RANDÉ

Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud

Docteur en mathématiques

Agrégé de mathématiques

Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis

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1. Présentation élémentaire de l’intégrale ............................................ A 110 - 3

1.1 Construction de l’intégrale d’une application réglée................................ — 3

1.1.1 Classes d’applications définies sur un segment .............................. — 3

1.1.2 Intégrale d’une application en escalier ............................................. — 5

1.1.3 Intégrale d’une application réglée..................................................... — 6

1.2 Formule fondamentale du calcul intégral.................................................. — 7

1.2.1 Intégrale dépendant d’une borne...................................................... — 7

1.2.2 Formule fondamentale....................................................................... — 8

1.3 Techniques de calcul d’intégrales .............................................................. — 9

1.3.1 Intégration par parties........................................................................ — 9

1.3.2 Changement de variable .................................................................... — 11

1.4 Notion d’intégrale impropre ....................................................................... — 11

1.4.1 Généralités .......................................................................................... — 11

1.4.2 Critères de convergence .................................................................... — 13

1.5 Fonctions définies par une intégrale.......................................................... — 15

1.5.1 Cas de l’intégrale d’une application réglée ...................................... — 15

1.5.2 Cas des intégrales impropres ............................................................ — 16

1.6 Intégrale d’une fonction continue à support compact sur ................ — 16

2. Intégrale de Lebesgue............................................................................. — 17

2.1 Préliminaires ................................................................................................ — 17

2.1.1 Droite numérique achévée................................................................. — 17

2.1.2 Applications continues à support compact ...................................... — 17

2.2 Intégrale supérieure, intégrale inférieure d’une application

de dans ............................................................................................. — 18

2.2.1 La classe ......................................................................................... — 18

2.2.2 Intégrale supérieure, intégrale inférieure d’une application à

valeurs dans ................................................................................... — 20

2.3 Fonctions négligeables ............................................................................... — 21

2.4 Fonctions intégrables .................................................................................. — 22

2.4.1 Intégrabilité ......................................................................................... — 22

2.4.2 Propriétés de l’intégrale ..................................................................... — 23

2.4.3 Critères d’intégrabilité........................................................................ — 24

2.4.4 Cas des fonctions positives ............................................................... — 24

2.5 Théorèmes fonctionnels ............................................................................. — 24

2.5.1 Théorèmes d’interversion.................................................................. — 24

2.5.2 Théorèmes fonctionnels .................................................................... — 25

2.5.3 Intégrale sur un sous-ensemble ........................................................ — 27

2.6 Lien avec l’intégrale élémentaire sur .................................................... — 27

2.7 Intégrales multiples ..................................................................................... — 28

2.7.1 Théorèmes de Lebesgue et Fubini .................................................... — 28

2.7.2 Théorème de changement de variables ........................................... — 28

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Analyse fonctionnelle

par André WARUSFEL

Professeur de Mathématiques Spéciales au Lycée Louis-le-Grand

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