Posted March 13, 200915 yr comment_25483 Physique par Didier Bernard ISABELLE Professeur d’Université Directeur du Centre d’Études et de Recherches par Irradiation du CNRS (Centre National de la Recherche Scientifique telecharger: http://www.elarabtimes.com/tech_ing/A185.PDF Statistiques par Alain LAMBOLEY Ancien élève de l’École Polytechnique Ingénieur Principal de l’Armement ----------------------------------------- 1. Statistique descriptive. Traitement des données ........................... A 166 - 2 2. Modèle théorique de distribution. Variables aléatoires d’échantillonnage.............................................. — 6 3. Estimation.................................................................................................. — 8 4. Tests d’hypothèse .................................................................................... — 12 5. Tests d’ajustement .................................................................................. — 13 6. Tests paramétriques................................................................................ — 16 7. Tests non paramétriques ....................................................................... — 21 8. Analyse de la variance............................................................................ — 24 9. Corrélation et régression....................................................................... — 28 10. Généralisation de l’analyse de la variance ....................................... — 32 11. Contrôles statistiques industriels ....................................................... — 36 Pour en savoir plus........................................................................................... Doc. A 166 ------------------------------------------ telecharger: http://www.elarabtimes.com/tech_ing/A166.PDF Fonctions hypergéométriques Fonctions de Bessel par Pascal MARONI Docteur ès sciences mathématiques Directeur de recherche au CNRS ----------------------------------- 1. Fonctions hypergéométriques.............................................................. A 160 - 2 1.1 Fonction de Gauss....................................................................................... — 2 1.1.1 La série hypergéométrique et son prolongement analytique ........ — 2 1.1.2 Propriétés élémentaires ..................................................................... — 3 1.1.3 Équation différentielle ........................................................................ — 4 1.1.4 Transformations de la fonction hypergéométrique ......................... — 5 1.1.5 Cas particuliers ................................................................................... — 8 1.2 Fonctions hypergéométriques confluentes............................................... — 8 1.2.1 Série de Kummer................................................................................ — 8 1.2.2 Fonctions hypergéométriques confluentes de seconde espèce..... — 10 1.2.3 Comportement asymptotique des fonctions hypergéométriques confluentes.......................................................................................... — 12 1.2.4 Représentations intégrales ................................................................ — 13 1.2.5 Cas particuliers ................................................................................... — 14 1.3 Fonctions hypergéométriques généralisées ............................................. — 15 1.3.1 Définitions ........................................................................................... — 15 1.3.2 Équation différentielle ........................................................................ — 15 1.3.3 Cas particuliers ................................................................................... — 16 2. Fonctions de Bessel................................................................................. — 16 2.1 Fonctions de Bessel d’ordre entier............................................................. — 16 2.1.1 Fonction génératrice........................................................................... — 16 2.1.2 Relations de récurrence ..................................................................... — 16 2.1.3 Équation différentielle ........................................................................ — 16 2.1.4 Origine des fonctions de Bessel ........................................................ — 16 2.2 Fonctions de Bessel d’ordre quelconque .................................................. — 17 2.2.1 Équation différentielle ........................................................................ — 17 2.2.2 Fonctions de Bessel de deuxième espèce ........................................ — 17 2.2.3 Fonctions de Bessel de troisième espèce......................................... — 18 2.2.4 Fonctions de Bessel modifiées .......................................................... — 18 2.2.5 Fonctions de Bessel d’indice demi-entier......................................... — 19 2.3 Représentations intégrales ......................................................................... — 19 2.3.1 Fonctions de première espèce........................................................... — 19 2.3.2 Fonctions de troisième espèce .......................................................... — 20 2.4 Comportement asymptotique .................................................................... — 20 2.5 Zéros des fonctions de Bessel .................................................................... — 21 2.5.1 Généralités .......................................................................................... — 21 2.5.2 Propriété des zéros positifs de J? pour ? > 0 .................................... — 22 Pour en savoir plus........................................................................................... Doc. A 160 ------------------------------------------ telecharger: http://www.elarabtimes.com/tech_ing/A160.PDF Fonctions eulériennes. Polynômes orthogonaux classiques par Pascal MARONI Docteur ès Sciences Mathématiques Directeur de Recherche au CNRS -------------------------- 1. L’outillage................................................................................................... A 154 - 1 1.1 Séries, produits, intégrales ......................................................................... — 2 1.1.1 Suites, séries ....................................................................................... — 2 1.1.2 Produits infinis .................................................................................... — 3 1.1.3 Intégrales............................................................................................. — 4 1.2 Fonctions polynomiales. Orthogonalité .................................................... — 4 1.2.1 Généralités .......................................................................................... — 4 1.2.2 Orthogonalité régulière...................................................................... — 5 2. Fonctions eulériennes............................................................................. — 6 2.1 Fonction gamma.......................................................................................... — 6 2.1.1 Définitions ........................................................................................... — 6 2.1.2 Une formule d’Euler ........................................................................... — 9 2.1.3 Formule des compléments ................................................................ — 9 2.1.4 Formule de multiplication de Legendre-Gauss................................ — 10 2.1.5 Formule de Stirling............................................................................. — 11 2.2 Fonction bêta ............................................................................................... — 11 2.2.1 Définition ............................................................................................. — 11 2.2.2 Formule généralisée des compléments............................................ — 11 2.2.3 Applications ........................................................................................ — 12 2.3 Fonction digamma....................................................................................... — 12 2.3.1 Définition ............................................................................................. — 12 2.3.2 Série de Jensen .................................................................................. — 13 2.3.3 Intégrale de Raabe.............................................................................. — 13 2.3.4 Une représentation intégrale de la fonction psi............................... — 14 2.3.5 Fonction de Binet................................................................................ — 14 2.3.6 Retour sur la formule de Stirling....................................................... — 15 2.3.7 Première intégrale de Binet ............................................................... — 15 3. Polynômes orthogonaux classiques................................................... — 16 3.1 Définitions ... — 16 3.1.1 Définition de Hahn.............................................................................. — 16 3.1.2 Équation fonctionnelle ....................................................................... — 17 3.1.3 Équation différentielle linéaire du second ordre.............................. — 18 3.1.4 Les deux relations de structure ......................................................... — 19 3.1.5 Formule de Rodrigues........................................................................ — 21 3.2 Construction des polynômes classiques ................................................... — 21 3.2.1 Système vérifié par .............................................. — 21 3.2.2 Résolution du système (95)-(96)........................................................ — 22 3.2.3 Les quatre situations canoniques...................................................... — 23 3.2.4 Représentations intégrales ................................................................ — 25 3.2.5 Retour sur la formule de Rodrigues.................................................. — 27 Références bibliographiques ......................................................................... — 28 ----------------------------------------- telecharger: http://www.elarabtimes.com/tech_ing/A154.PDF Calcul formel par Claude GOMEZ Ancien Élève de l’École Centrale de Paris Docteur Ingénieur Directeur de Recherche à l’Institut National de Recherche en Informatique et Automatique (INRIA --------------------------------------- 1. Calculs de base......................................................................................... A 144 - 2 1.1 Nombres... — 2 1.2 Polynômes et fractions rationnelles........................................................... — 3 1.3 Dérivation... — 4 1.4 Simplification............................................................................................... — 5 1.5 Courbes et surfaces..................................................................................... — 7 2. Calcul intégral........................................................................................... — 8 2.1 Calcul de primitives ..................................................................................... — 8 2.2 Intégrales définies ....................................................................................... — 10 3. Calcul matriciel ........................................................................................ — 11 3.1 Calculs de base ............................................................................................ — 11 3.2 Résolution de systèmes linéaires............................................................... — 12 3.3 Calcul de valeurs propres ........................................................................... — 12 3.4 Applications ................................................................................................. — 13 4. Résolution d’équations........................................................................... — 14 4.1 Équations non linéaires............................................................................... — 14 4.2 Équations différentielles ............................................................................. — 15 5. Calcul numérique..................................................................................... — 17 5.1 Calcul numérique dans un système de calcul formel............................... — 5.2 Génération de code ..................................................................................... — 18 5.3 Systèmes de CAO en automatique ............................................................ — 18 6. Autres domaines ...................................................................................... — 22 Pour en savoir plus........................................................................................... Doc. A 144 --------------------------------------- telecharger: http://www.elarabtimes.com/tech_ing/A144.PDF Analyse harmonique, distributions, convolution par Thomas LACHAND-ROBERT Ancien élève de l’École Polytechnique Maître de Conférences à l’Université de Paris VI ------------------------------------------ 1. Historique................................................................................................... A 142 - 3 1.1 Naissance des séries trigonométriques..................................................... — 3 1.2 Fourier et l’équation de la chaleur ............................................................. — 3 1.3 La question des fonctions « arbitraires »................................................... — 4 1.4 Convolution.................................................................................................. — 5 2. Notations... — 6 3. Distributions.............................................................................................. — 6 3.1 Bases mathématiques................................................................................. — 6 3.2 Fonctions indéfiniment dérivables à support compact ........................... — 8 3.3 Espace des distributions ............................................................................. — 9 3.4 Propriétés des distributions........................................................................ — 9 3.5 Convolution.................................................................................................. — 11 3.6 Exemples de distributions .......................................................................... — 12 4. Transformation de Fourier..................................................................... — 13 4.1 Transformée de Fourier d’une fonction ..................................................... — 13 4.2 Transformée d’une distribution.................................................................. — 13 4.3 Propriétés de la transformation de Fourier .............................................. — 14 5. Séries de Fourier ...................................................................................... — 16 5.1 Fonctions et distributions périodiques ...................................................... — 16 5.2 Expression des séries de Fourier ............................................................... — 17 5.3 Propriétés des coefficients de Fourier ....................................................... — 19 5.4 Spectre d’une fonction périodique ou quasi périodique......................... — 22 6. Calcul pratique ......................................................................................... — 23 6.1 Calcul des coefficients de Fourier .............................................................. — 23 6.2 Calcul de la somme d’une série de Fourier .............................................. — 25 6.3 Calcul d’une transformée de Fourier ......................................................... — 25 6.4 Transformée de Fourier rapide................................................................... — 25 7. Extensions de la notion de transformée de Fourier....................... — 27 7.1 Transformation de Laplace ......................................................................... — 27 7.2 Transformation de Hankel........................................................................... — 29 7.3 Ondelettes ... — 29 Références bibliographiques ......................................................................... — 30 ----------------------------------------- telecharger: http://www.elarabtimes.com/tech_ing/A142.PDF Application aux rotations dans l’espace par Jean-Claude RADIX Ingénieur civil des Télécommunications Ingénieur à la Société Nationale Industrielle Aérospatiale Professeur à l’École Nationale Supérieure de l’Aéronautique et de l’Espace (ENSAE) et à l’École Nationale Supérieure des Techniques Avancées (ENSTA) ------------------------------- 1. Définition et propriétés des quaternions .......................................... A 140 - 2 2. Représentation d’une rotation par un quaternion.......................... — 3 3. Application aux produits de rotations............................................... — 5 3.1 Première méthode....................................................................................... — 5 3.2 Deuxième méthode ..................................................................................... — 5 3.3 Représentation de l’attitude d’un véhicule................................................ — 5 3.3.1 Notation engin .................................................................................... — 5 3.3.2 Notations avion-bateau...................................................................... — 6 Références bibliographiques ......................................................................... — 6 ------------------------------- telechager: http://www.elarabtimes.com/tech_ing/A140.PDF Calcul tensoriel par Gilles CHÂTELET Ancien Élève de l’École Normale Supérieure de St-Cloud Docteur ès Sciences Mathématiques Professeur à l’Université de Paris VIII ------------------------------------------------- 1. Dualité. Covariance et contravariance dans un espace vectoriel A 125 - 2 1.1 Les vecteurs des physiciens. Contravariance............................................ — 2 1.2 Espace dual. Covariance ............................................................................. — 2 1.3 Dualité dans les espaces pseudo-euclidiens. Composantes covariantes et contravariantes d’un vecteur.................................................................. — 3 2. Tenseurs en dimension finie ................................................................. — 4 2.1 Tenseurs comme formes multilinéaires .................................................... — 4 2.2 Opérations sur les espaces de tenseurs .................................................... — 5 2.3 Dimension de l’espace des tenseurs mixtes ............................................. — 5 2.4 Tenseurs euclidiens ..................................................................................... — 6 3. Tenseurs antisymétriques. Formes extérieures............................... — 7 3.1 Définition... — 7 3.2 L’espace . Dimension et produit extérieur ......................................... — 7 3.3 L’espace . Déterminants ...................................................................... — 8 3.4 Comportement des composantes strictes par changement de base...... — 9 3.5 Dualité dans le produit extérieur................................................................ — 9 4. Application du calcul tensoriel à la relativité restreinte.............. — 11 4.1 Introduction et rappels ................................................................................ — 11 4.2 Géométrie de la relativité............................................................................ — 12 4.3 Dynamique de la relativité .......................................................................... — 13 4.4 Électromagnétisme en relativité................................................................. — 14 Références bibliographiques ......................................................................... — 15 ------------------------------------------------- telecharger: http://www.elarabtimes.com/tech_ing/A125.PDF Introduction à la logique floue par Arnold KAUFMANN Ancien professeur à l’Institut Polytechnique de Grenoble, à l’École Supérieure des Mines de Paris et à l’Université de Louvain Professeur Honoraire de l’Institut d’Administration des Entreprises de Barcelone ---------------------------------- 1. Rappel sur l’algèbre de Boole..................................................... A 120 - R 7 032 - 2 2. Logique floue................................................................................... — 2 3. Rappel sur la théorie des probabilités ..................................... — 3 4. Axiomatique des sous-ensembles flous .................................. — 3 5. Relations floues.............................................................................. — 4 6. Inférences floues............................................................................ — 5 7. Nombres flous................................................................................. — 7 8. Sous-ensembles aléatoires flous et expertons ...................... — 7 9. Domaines d’application ............................................................... — 8 10. Exemple ............................................................................................ — 8 Pour en savoir plus ................................................................................. Doc. A 120 - R 7 032 ----------------------------------- telecharger: http://www.elarabtimes.com/tech_ing/A120.PDF Topologie par André WARUSFEL Professeur de Mathématiques Spéciales au Lycée Louis-le-Grand telecharger: http://www.elarabtimes.com/tech_ing/A100.PDF Introduction"Mathématiques" Mathématiques Introduction par André WARUSFEL Ancien élève de l’École Normale Supérieure Agrégé de Mathématiques Professeur de Mathématiques Spéciales M’ au Lycée Louis-le-Grand telecharger: http://www.elarabtimes.com/tech_ing/A30.PDF Intégration par Danièle LINO Ancienne élève de l’École normale supérieure de Sèvres Agrégée de mathématiques Professeur de mathématiques spéciales au lycée Henri-IV et Bernard RANDÉ Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud Docteur en mathématiques Agrégé de mathématiques Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis ------------------------------------------ 1. Présentation élémentaire de l’intégrale ............................................ A 110 - 3 1.1 Construction de l’intégrale d’une application réglée................................ — 3 1.1.1 Classes d’applications définies sur un segment .............................. — 3 1.1.2 Intégrale d’une application en escalier ............................................. — 5 1.1.3 Intégrale d’une application réglée..................................................... — 6 1.2 Formule fondamentale du calcul intégral.................................................. — 7 1.2.1 Intégrale dépendant d’une borne...................................................... — 7 1.2.2 Formule fondamentale....................................................................... — 8 1.3 Techniques de calcul d’intégrales .............................................................. — 9 1.3.1 Intégration par parties........................................................................ — 9 1.3.2 Changement de variable .................................................................... — 11 1.4 Notion d’intégrale impropre ....................................................................... — 11 1.4.1 Généralités .......................................................................................... — 11 1.4.2 Critères de convergence .................................................................... — 13 1.5 Fonctions définies par une intégrale.......................................................... — 15 1.5.1 Cas de l’intégrale d’une application réglée ...................................... — 15 1.5.2 Cas des intégrales impropres ............................................................ — 16 1.6 Intégrale d’une fonction continue à support compact sur ................ — 16 2. Intégrale de Lebesgue............................................................................. — 17 2.1 Préliminaires ................................................................................................ — 17 2.1.1 Droite numérique achévée................................................................. — 17 2.1.2 Applications continues à support compact ...................................... — 17 2.2 Intégrale supérieure, intégrale inférieure d’une application de dans ............................................................................................. — 18 2.2.1 La classe ......................................................................................... — 18 2.2.2 Intégrale supérieure, intégrale inférieure d’une application à valeurs dans ................................................................................... — 20 2.3 Fonctions négligeables ............................................................................... — 21 2.4 Fonctions intégrables .................................................................................. — 22 2.4.1 Intégrabilité ......................................................................................... — 22 2.4.2 Propriétés de l’intégrale ..................................................................... — 23 2.4.3 Critères d’intégrabilité........................................................................ — 24 2.4.4 Cas des fonctions positives ............................................................... — 24 2.5 Théorèmes fonctionnels ............................................................................. — 24 2.5.1 Théorèmes d’interversion.................................................................. — 24 2.5.2 Théorèmes fonctionnels .................................................................... — 25 2.5.3 Intégrale sur un sous-ensemble ........................................................ — 27 2.6 Lien avec l’intégrale élémentaire sur .................................................... — 27 2.7 Intégrales multiples ..................................................................................... — 28 2.7.1 Théorèmes de Lebesgue et Fubini .................................................... — 28 2.7.2 Théorème de changement de variables ........................................... — 28 ------------------------------------------ telecharger: http://www.elarabtimes.com/tech_ing/A110.PDF Analyse fonctionnelle par André WARUSFEL Professeur de Mathématiques Spéciales au Lycée Louis-le-Grand telecharger: http://www.elarabtimes.com/tech_ing/A101.PDF
comment_25483Physique
par Didier Bernard ISABELLE
Professeur d’Université
Directeur du Centre d’Études et de Recherches par Irradiation du CNRS
(Centre National de la Recherche Scientifique
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Statistiques
par Alain LAMBOLEY
Ancien élève de l’École Polytechnique
Ingénieur Principal de l’Armement
-----------------------------------------
1. Statistique descriptive. Traitement des données ........................... A 166 - 2
2. Modèle théorique de distribution.
Variables aléatoires d’échantillonnage.............................................. — 6
3. Estimation.................................................................................................. — 8
4. Tests d’hypothèse .................................................................................... — 12
5. Tests d’ajustement .................................................................................. — 13
6. Tests paramétriques................................................................................ — 16
7. Tests non paramétriques ....................................................................... — 21
8. Analyse de la variance............................................................................ — 24
9. Corrélation et régression....................................................................... — 28
10. Généralisation de l’analyse de la variance ....................................... — 32
11. Contrôles statistiques industriels ....................................................... — 36
Pour en savoir plus........................................................................................... Doc. A 166
------------------------------------------
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Fonctions hypergéométriques Fonctions de Bessel
par Pascal MARONI
Docteur ès sciences mathématiques
Directeur de recherche au CNRS
-----------------------------------
1. Fonctions hypergéométriques.............................................................. A 160 - 2
1.1 Fonction de Gauss....................................................................................... — 2
1.1.1 La série hypergéométrique et son prolongement analytique ........ — 2
1.1.2 Propriétés élémentaires ..................................................................... — 3
1.1.3 Équation différentielle ........................................................................ — 4
1.1.4 Transformations de la fonction hypergéométrique ......................... — 5
1.1.5 Cas particuliers ................................................................................... — 8
1.2 Fonctions hypergéométriques confluentes............................................... — 8
1.2.1 Série de Kummer................................................................................ — 8
1.2.2 Fonctions hypergéométriques confluentes de seconde espèce..... — 10
1.2.3 Comportement asymptotique des fonctions hypergéométriques
confluentes.......................................................................................... — 12
1.2.4 Représentations intégrales ................................................................ — 13
1.2.5 Cas particuliers ................................................................................... — 14
1.3 Fonctions hypergéométriques généralisées ............................................. — 15
1.3.1 Définitions ........................................................................................... — 15
1.3.2 Équation différentielle ........................................................................ — 15
1.3.3 Cas particuliers ................................................................................... — 16
2. Fonctions de Bessel................................................................................. — 16
2.1 Fonctions de Bessel d’ordre entier............................................................. — 16
2.1.1 Fonction génératrice........................................................................... — 16
2.1.2 Relations de récurrence ..................................................................... — 16
2.1.3 Équation différentielle ........................................................................ — 16
2.1.4 Origine des fonctions de Bessel ........................................................ — 16
2.2 Fonctions de Bessel d’ordre quelconque .................................................. — 17
2.2.1 Équation différentielle ........................................................................ — 17
2.2.2 Fonctions de Bessel de deuxième espèce ........................................ — 17
2.2.3 Fonctions de Bessel de troisième espèce......................................... — 18
2.2.4 Fonctions de Bessel modifiées .......................................................... — 18
2.2.5 Fonctions de Bessel d’indice demi-entier......................................... — 19
2.3 Représentations intégrales ......................................................................... — 19
2.3.1 Fonctions de première espèce........................................................... — 19
2.3.2 Fonctions de troisième espèce .......................................................... — 20
2.4 Comportement asymptotique .................................................................... — 20
2.5 Zéros des fonctions de Bessel .................................................................... — 21
2.5.1 Généralités .......................................................................................... — 21
2.5.2 Propriété des zéros positifs de J? pour ? > 0 .................................... — 22
Pour en savoir plus........................................................................................... Doc. A 160
------------------------------------------
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Fonctions eulériennes. Polynômes orthogonaux classiques
par Pascal MARONI
Docteur ès Sciences Mathématiques
Directeur de Recherche au CNRS
--------------------------
1. L’outillage................................................................................................... A 154 - 1
1.1 Séries, produits, intégrales ......................................................................... — 2
1.1.1 Suites, séries ....................................................................................... — 2
1.1.2 Produits infinis .................................................................................... — 3
1.1.3 Intégrales............................................................................................. — 4
1.2 Fonctions polynomiales. Orthogonalité .................................................... — 4
1.2.1 Généralités .......................................................................................... — 4
1.2.2 Orthogonalité régulière...................................................................... — 5
2. Fonctions eulériennes............................................................................. — 6
2.1 Fonction gamma.......................................................................................... — 6
2.1.1 Définitions ........................................................................................... — 6
2.1.2 Une formule d’Euler ........................................................................... — 9
2.1.3 Formule des compléments ................................................................ — 9
2.1.4 Formule de multiplication de Legendre-Gauss................................ — 10
2.1.5 Formule de Stirling............................................................................. — 11
2.2 Fonction bêta ............................................................................................... — 11
2.2.1 Définition ............................................................................................. — 11
2.2.2 Formule généralisée des compléments............................................ — 11
2.2.3 Applications ........................................................................................ — 12
2.3 Fonction digamma....................................................................................... — 12
2.3.1 Définition ............................................................................................. — 12
2.3.2 Série de Jensen .................................................................................. — 13
2.3.3 Intégrale de Raabe.............................................................................. — 13
2.3.4 Une représentation intégrale de la fonction psi............................... — 14
2.3.5 Fonction de Binet................................................................................ — 14
2.3.6 Retour sur la formule de Stirling....................................................... — 15
2.3.7 Première intégrale de Binet ............................................................... — 15
3. Polynômes orthogonaux classiques................................................... — 16
3.1 Définitions ... — 16
3.1.1 Définition de Hahn.............................................................................. — 16
3.1.2 Équation fonctionnelle ....................................................................... — 17
3.1.3 Équation différentielle linéaire du second ordre.............................. — 18
3.1.4 Les deux relations de structure ......................................................... — 19
3.1.5 Formule de Rodrigues........................................................................ — 21
3.2 Construction des polynômes classiques ................................................... — 21
3.2.1 Système vérifié par .............................................. — 21
3.2.2 Résolution du système (95)-(96)........................................................ — 22
3.2.3 Les quatre situations canoniques...................................................... — 23
3.2.4 Représentations intégrales ................................................................ — 25
3.2.5 Retour sur la formule de Rodrigues.................................................. — 27
Références bibliographiques ......................................................................... — 28
-----------------------------------------
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Calcul formel
par Claude GOMEZ
Ancien Élève de l’École Centrale de Paris
Docteur Ingénieur
Directeur de Recherche à l’Institut National de Recherche en Informatique
et Automatique (INRIA
---------------------------------------
1. Calculs de base......................................................................................... A 144 - 2
1.1 Nombres... — 2
1.2 Polynômes et fractions rationnelles........................................................... — 3
1.3 Dérivation... — 4
1.4 Simplification............................................................................................... — 5
1.5 Courbes et surfaces..................................................................................... — 7
2. Calcul intégral........................................................................................... — 8
2.1 Calcul de primitives ..................................................................................... — 8
2.2 Intégrales définies ....................................................................................... — 10
3. Calcul matriciel ........................................................................................ — 11
3.1 Calculs de base ............................................................................................ — 11
3.2 Résolution de systèmes linéaires............................................................... — 12
3.3 Calcul de valeurs propres ........................................................................... — 12
3.4 Applications ................................................................................................. — 13
4. Résolution d’équations........................................................................... — 14
4.1 Équations non linéaires............................................................................... — 14
4.2 Équations différentielles ............................................................................. — 15
5. Calcul numérique..................................................................................... — 17
5.1 Calcul numérique dans un système de calcul formel............................... —
5.2 Génération de code ..................................................................................... — 18
5.3 Systèmes de CAO en automatique ............................................................ — 18
6. Autres domaines ...................................................................................... — 22
Pour en savoir plus........................................................................................... Doc. A 144
---------------------------------------
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Analyse harmonique, distributions, convolution
par Thomas LACHAND-ROBERT
Ancien élève de l’École Polytechnique
Maître de Conférences à l’Université de Paris VI
------------------------------------------
1. Historique................................................................................................... A 142 - 3
1.1 Naissance des séries trigonométriques..................................................... — 3
1.2 Fourier et l’équation de la chaleur ............................................................. — 3
1.3 La question des fonctions « arbitraires »................................................... — 4
1.4 Convolution.................................................................................................. — 5
2. Notations... — 6
3. Distributions.............................................................................................. — 6
3.1 Bases mathématiques................................................................................. — 6
3.2 Fonctions indéfiniment dérivables à support compact ........................... — 8
3.3 Espace des distributions ............................................................................. — 9
3.4 Propriétés des distributions........................................................................ — 9
3.5 Convolution.................................................................................................. — 11
3.6 Exemples de distributions .......................................................................... — 12
4. Transformation de Fourier..................................................................... — 13
4.1 Transformée de Fourier d’une fonction ..................................................... — 13
4.2 Transformée d’une distribution.................................................................. — 13
4.3 Propriétés de la transformation de Fourier .............................................. — 14
5. Séries de Fourier ...................................................................................... — 16
5.1 Fonctions et distributions périodiques ...................................................... — 16
5.2 Expression des séries de Fourier ............................................................... — 17
5.3 Propriétés des coefficients de Fourier ....................................................... — 19
5.4 Spectre d’une fonction périodique ou quasi périodique......................... — 22
6. Calcul pratique ......................................................................................... — 23
6.1 Calcul des coefficients de Fourier .............................................................. — 23
6.2 Calcul de la somme d’une série de Fourier .............................................. — 25
6.3 Calcul d’une transformée de Fourier ......................................................... — 25
6.4 Transformée de Fourier rapide................................................................... — 25
7. Extensions de la notion de transformée de Fourier....................... — 27
7.1 Transformation de Laplace ......................................................................... — 27
7.2 Transformation de Hankel........................................................................... — 29
7.3 Ondelettes ... — 29
Références bibliographiques ......................................................................... — 30
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Application aux rotations dans l’espace
par Jean-Claude RADIX
Ingénieur civil des Télécommunications
Ingénieur à la Société Nationale Industrielle Aérospatiale
Professeur à l’École Nationale Supérieure de l’Aéronautique et de l’Espace (ENSAE)
et à l’École Nationale Supérieure des Techniques Avancées (ENSTA)
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1. Définition et propriétés des quaternions .......................................... A 140 - 2
2. Représentation d’une rotation par un quaternion.......................... — 3
3. Application aux produits de rotations............................................... — 5
3.1 Première méthode....................................................................................... — 5
3.2 Deuxième méthode ..................................................................................... — 5
3.3 Représentation de l’attitude d’un véhicule................................................ — 5
3.3.1 Notation engin .................................................................................... — 5
3.3.2 Notations avion-bateau...................................................................... — 6
Références bibliographiques ......................................................................... — 6
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Calcul tensoriel
par Gilles CHÂTELET
Ancien Élève de l’École Normale Supérieure de St-Cloud
Docteur ès Sciences Mathématiques
Professeur à l’Université de Paris VIII
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1. Dualité. Covariance et contravariance dans un espace vectoriel A 125 - 2
1.1 Les vecteurs des physiciens. Contravariance............................................ — 2
1.2 Espace dual. Covariance ............................................................................. — 2
1.3 Dualité dans les espaces pseudo-euclidiens. Composantes covariantes
et contravariantes d’un vecteur.................................................................. — 3
2. Tenseurs en dimension finie ................................................................. — 4
2.1 Tenseurs comme formes multilinéaires .................................................... — 4
2.2 Opérations sur les espaces de tenseurs .................................................... — 5
2.3 Dimension de l’espace des tenseurs mixtes ............................................. — 5
2.4 Tenseurs euclidiens ..................................................................................... — 6
3. Tenseurs antisymétriques. Formes extérieures............................... — 7
3.1 Définition... — 7
3.2 L’espace . Dimension et produit extérieur ......................................... — 7
3.3 L’espace . Déterminants ...................................................................... — 8
3.4 Comportement des composantes strictes par changement de base...... — 9
3.5 Dualité dans le produit extérieur................................................................ — 9
4. Application du calcul tensoriel à la relativité restreinte.............. — 11
4.1 Introduction et rappels ................................................................................ — 11
4.2 Géométrie de la relativité............................................................................ — 12
4.3 Dynamique de la relativité .......................................................................... — 13
4.4 Électromagnétisme en relativité................................................................. — 14
Références bibliographiques ......................................................................... — 15
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Introduction à la logique floue
par Arnold KAUFMANN
Ancien professeur à l’Institut Polytechnique de Grenoble,
à l’École Supérieure des Mines de Paris et à l’Université de Louvain
Professeur Honoraire de l’Institut d’Administration
des Entreprises de Barcelone
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1. Rappel sur l’algèbre de Boole..................................................... A 120 - R 7 032 - 2
2. Logique floue................................................................................... — 2
3. Rappel sur la théorie des probabilités ..................................... — 3
4. Axiomatique des sous-ensembles flous .................................. — 3
5. Relations floues.............................................................................. — 4
6. Inférences floues............................................................................ — 5
7. Nombres flous................................................................................. — 7
8. Sous-ensembles aléatoires flous et expertons ...................... — 7
9. Domaines d’application ............................................................... — 8
10. Exemple ............................................................................................ — 8
Pour en savoir plus ................................................................................. Doc. A 120 - R 7 032
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Topologie
par André WARUSFEL
Professeur de Mathématiques Spéciales au Lycée Louis-le-Grand
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Introduction"Mathématiques"
Mathématiques
Introduction
par André WARUSFEL
Ancien élève de l’École Normale Supérieure
Agrégé de Mathématiques
Professeur de Mathématiques Spéciales M’ au Lycée Louis-le-Grand
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Intégration
par Danièle LINO
Ancienne élève de l’École normale supérieure de Sèvres
Agrégée de mathématiques
Professeur de mathématiques spéciales au lycée Henri-IV
et Bernard RANDÉ
Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud
Docteur en mathématiques
Agrégé de mathématiques
Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis
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1. Présentation élémentaire de l’intégrale ............................................ A 110 - 3
1.1 Construction de l’intégrale d’une application réglée................................ — 3
1.1.1 Classes d’applications définies sur un segment .............................. — 3
1.1.2 Intégrale d’une application en escalier ............................................. — 5
1.1.3 Intégrale d’une application réglée..................................................... — 6
1.2 Formule fondamentale du calcul intégral.................................................. — 7
1.2.1 Intégrale dépendant d’une borne...................................................... — 7
1.2.2 Formule fondamentale....................................................................... — 8
1.3 Techniques de calcul d’intégrales .............................................................. — 9
1.3.1 Intégration par parties........................................................................ — 9
1.3.2 Changement de variable .................................................................... — 11
1.4 Notion d’intégrale impropre ....................................................................... — 11
1.4.1 Généralités .......................................................................................... — 11
1.4.2 Critères de convergence .................................................................... — 13
1.5 Fonctions définies par une intégrale.......................................................... — 15
1.5.1 Cas de l’intégrale d’une application réglée ...................................... — 15
1.5.2 Cas des intégrales impropres ............................................................ — 16
1.6 Intégrale d’une fonction continue à support compact sur ................ — 16
2. Intégrale de Lebesgue............................................................................. — 17
2.1 Préliminaires ................................................................................................ — 17
2.1.1 Droite numérique achévée................................................................. — 17
2.1.2 Applications continues à support compact ...................................... — 17
2.2 Intégrale supérieure, intégrale inférieure d’une application
de dans ............................................................................................. — 18
2.2.1 La classe ......................................................................................... — 18
2.2.2 Intégrale supérieure, intégrale inférieure d’une application à
valeurs dans ................................................................................... — 20
2.3 Fonctions négligeables ............................................................................... — 21
2.4 Fonctions intégrables .................................................................................. — 22
2.4.1 Intégrabilité ......................................................................................... — 22
2.4.2 Propriétés de l’intégrale ..................................................................... — 23
2.4.3 Critères d’intégrabilité........................................................................ — 24
2.4.4 Cas des fonctions positives ............................................................... — 24
2.5 Théorèmes fonctionnels ............................................................................. — 24
2.5.1 Théorèmes d’interversion.................................................................. — 24
2.5.2 Théorèmes fonctionnels .................................................................... — 25
2.5.3 Intégrale sur un sous-ensemble ........................................................ — 27
2.6 Lien avec l’intégrale élémentaire sur .................................................... — 27
2.7 Intégrales multiples ..................................................................................... — 28
2.7.1 Théorèmes de Lebesgue et Fubini .................................................... — 28
2.7.2 Théorème de changement de variables ........................................... — 28
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Analyse fonctionnelle
par André WARUSFEL
Professeur de Mathématiques Spéciales au Lycée Louis-le-Grand
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